In questa lezione imparerai a riconoscere quando una funzione è continua e quando non lo è.
Cosa imparerai:
Vai avanti un passo alla volta con il pulsante "Avanti".
Ogni passo contiene un solo concetto.
Puoi sempre tornare indietro per rileggere.
Prima di dare la definizione formale, partiamo dall'idea intuitiva.
Immagina di disegnare il grafico di una funzione con una matita.
Se riesci a disegnare tutto il grafico senza mai staccare la matita dal foglio, allora la funzione è continua.
Se invece a un certo punto devi staccare la matita (perché c'è un salto, un buco, o la funzione va verso l'infinito), allora la funzione non è continua in quel punto.
Funzione continua = puoi disegnare il grafico senza staccare la matita.
Funzione non continua = a un certo punto devi staccare la matita.
Adesso vediamo come si scrive questa idea in matematica.
Sia f(x) una funzione. Sia x₀ un punto del dominio.
La funzione f(x) è continua nel punto x₀ se succede questa cosa:
Cosa significa in parole semplici?
Una funzione è continua in x₀ quando il valore del limite e il valore della funzione coincidono.
È come dire: "dove la funzione sta andando" è esattamente "dove la funzione è".
Se il limite e il valore della funzione non coincidono, la funzione ha un problema. Questo problema si chiama discontinuità.
Esistono 3 tipi di discontinuità. Ognuno corrisponde a un "problema" diverso del grafico.
Nei prossimi passi vedremo ogni tipo, uno alla volta.
Per ogni tipo imparerai: come si riconosce guardando il grafico, e cosa succede ai limiti.
Questo è il caso più facile da riconoscere.
In un punto x₀, la funzione fa un salto: arriva a un certo valore da sinistra e a un valore diverso da destra.
Cosa succede ai limiti?
Guarda il punto x₀: il grafico arriva a due altezze diverse da sinistra e da destra. C'è un "gradino".
I specie = i limiti destro e sinistro esistono e sono finiti, ma sono diversi tra loro.
L'ampiezza del salto è la differenza: |ℓ₂ − ℓ₁|.
Questo è il caso più "drammatico".
In un punto x₀, la funzione va verso l'infinito (oppure oscilla senza fermarsi). Almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) non è un numero finito.
Cosa succede ai limiti?
Almeno una di queste cose è vera:
Guarda il punto x₀: il grafico sale o scende verticalmente senza fermarsi. Spesso c'è un asintoto verticale (una linea tratteggiata verticale).
II specie = almeno uno dei limiti (destro o sinistro) è infinito oppure non esiste.
È il caso "peggiore": la funzione non ha un comportamento controllabile vicino a x₀.
Questo è il caso più "gentile": la funzione quasi funziona, ma c'è un piccolo difetto.
In un punto x₀, il limite esiste e vale un numero finito ℓ.
Però succede una di queste due cose:
Perché si potrebbe "aggiustare" spostando (o aggiungendo) il punto nel posto giusto.
Se definiamo f(x₀) = ℓ, la funzione diventa continua!
Per questo si dice anche discontinuità eliminabile.
III specie = il limite esiste ed è finito, ma non coincide con il valore della funzione (oppure la funzione non è definita in quel punto).
È un "buco" che si può riparare.
Hai imparato tutti e 3 i tipi. Ecco un riepilogo completo.
| Tipo | Cosa succede ai limiti | Nel grafico vedi... |
|---|---|---|
| I specie (salto) |
Limite sinistro ≠ Limite destro (entrambi finiti) |
Un gradino: il grafico salta da un'altezza a un'altra. |
| II specie (infinito) |
Almeno un limite è ±∞ oppure non esiste | Il grafico va verso l'alto o il basso senza fermarsi. Asintoto verticale. |
| III specie (buco) |
Il limite esiste (finito) ma ≠ f(x₀), oppure f(x₀) non è definita | Un cerchietto vuoto (buco) nel grafico, oppure un punto "fuori posto". |
Schema decisionale: quando trovi un punto x₀ dove la funzione non è continua, chiediti:
Memorizza le parole chiave: salto, esplosione, buco.
Se le ricordi, puoi sempre ricostruire le definizioni formali.
Rispondi a queste domande per verificare quello che hai imparato. Puoi sempre tornare indietro a rileggere.
Domanda 1 di 5
Una funzione è continua in x₀ quando:
Domanda 2 di 5
Se nel punto x₀ il limite da sinistra vale 3 e il limite da destra vale 7, che tipo di discontinuità è?
Domanda 3 di 5
Se avvicinandosi a x₀ la funzione va verso +∞, che tipo di discontinuità è?
Domanda 4 di 5
Se il limite esiste e vale 5, ma f(x₀) = 2, che tipo di discontinuità è?
Domanda 5 di 5
Perché la discontinuità di III specie si chiama anche "eliminabile"?