Formulario di matematica

Calcolo

Potenze

{(+ A)}^{n}

= {(+)}^{n} (A * A * A * \dots * A)

(n volte)

Si legge: Più A, tutto elevato alla n, è uguale a: più elevato alla n, per A per A per A… per A, con A ripetuto n volte.

{(- A)}^{n}

= {(-)}^{n} (A * A * A * \dots * A)

Si legge: Meno A, tutto elevato alla n, è uguale a: meno elevato alla n, per A per A per A… per A, con A ripetuto n volte.

{(A)}^{n} * {(A)}^{m} = {(A)}^{n + m}

Si legge: A alla n, per A alla m, è uguale ad A alla n più m.

{(A)}^{n} : {(A)}^{m} = {(A)}^{n - m}

Si legge: A alla n, diviso A alla m, è uguale ad A alla n meno m.

{[A^{n}]}^{m} = {(A)}^{n * m}

Si legge: A alla n, tutto elevato alla m, è uguale ad A alla n per m.

{(A)}^{n} * {(B)}^{n} = {(A * B)}^{n}

Si legge: A alla n, per B alla n, è uguale ad A per B, tutto elevato alla n.

{(A)}^{n} : {(B)}^{n} = {(A : B)}^{n}

Si legge: A alla n, diviso B alla n, è uguale ad A diviso B, tutto elevato alla n.

A^{0} = 1

Si legge: A elevato a zero è uguale a uno.

A^{1} = A

Si legge: A elevato a uno è uguale ad A.

A^{- 1} = \frac{1}{A}

Si legge: A elevato a meno uno è uguale a uno fratto A.

\sqrt{A} = A^{\frac{1}{2}}

Si legge: Radice quadrata di A è uguale ad A elevato a un mezzo.

\sqrt[n]{a} = {(a)}^{\frac{1}{n}}

Si legge: Radice ennesima di a è uguale ad a elevato a uno fratto n.

Regole dei segni

Segni concordi: sempre +

(-) \cdot (-) = +

Si legge: Meno per meno fa più.

(+) \cdot (+) = +

Si legge: Più per più fa più.

Segni discordi: sempre −

(+) \cdot (-) = -

Si legge: Più per meno fa meno.

(-) \cdot (+) = -

Si legge: Meno per più fa meno.

Sommare numeri con segni concordi

Sommare due numeri positivi: rimane il segno positivo e si sommano i numeri.

(+ a + b) = + (a + b)

Si legge: Più a più b è uguale a più, a più b.

Sommare due numeri negativi: rimane il segno meno e si sommano i numeri.

(- a - b) = - (a + b)

Si legge: Meno a meno b è uguale a meno, a più b.

Sommare numeri con segni discordi

Sommare due numeri con segni discordi: si mantiene il segno del numero più grande e si effettua sempre la sottrazione.

se a > b

(+ a - b) = + (a - b)

Si legge: Se a è maggiore di b: più a meno b è uguale a più, a meno b.

se a < b

(+ a - b) = - (b - a)

Si legge: Se a è minore di b: più a meno b è uguale a meno, b meno a.

Prodotti notevoli

$k (a + b)$ $= (k) (a) + (k) (b)$
Si legge: k per a più b è uguale a k per a, più k per b.
$(a + b) (c + d)$ $= (a) (c) + (a) (d)$ $+ (b) (c) + (b) (d)$
Si legge: a più b, per c più d, è uguale a: a per c, più a per d, più b per c, più b per d.
${(a + b)}^{2}$ $= {(a)}^{2} + {(b)}^{2}$ $+ 2 (a) (b)$
Si legge: a più b, tutto al quadrato, è uguale ad a al quadrato, più b al quadrato, più due a b.
${(a + b)}^{3}$ $= {(a)}^{3} + 3 {(a)}^{2} (b)$ $+ 3 (a) {(b)}^{2} + {(b)}^{3}$
Si legge: a più b, tutto al cubo, è uguale ad a al cubo, più tre a al quadrato b, più tre a b al quadrato, più b al cubo.
${(a - b)}^{3}$ $= {(a)}^{3} - 3 {(a)}^{2} (b)$ $+ 3 (a) {(b)}^{2} - {(b)}^{3}$
Si legge: a meno b, tutto al cubo, è uguale ad a al cubo, meno tre a al quadrato b, più tre a b al quadrato, meno b al cubo.
$(a + b) (a - b)$ $= {(a)}^{2} - {(b)}^{2}$
Si legge: a più b, per a meno b, è uguale ad a al quadrato meno b al quadrato.
${(a + b + c)}^{2}$ $= {(a)}^{2} + {(b)}^{2} + {(c)}^{2}$ $+ 2 (a) (b) + 2 (a) (c)$ $+ 2 (b) (c)$
Si legge: a più b più c, tutto al quadrato, è uguale ad a al quadrato, più b al quadrato, più c al quadrato, più due a b, più due a c, più due b c.
${(a)}^{3} - {(b)}^{3}$ $= (a - b) [(a)^{2} + (b)^{2}$ $+ (a) (b)]$
Si legge: a al cubo meno b al cubo è uguale ad a meno b, per: a al quadrato, più b al quadrato, più a b.
${(a)}^{3} + {(b)}^{3}$ $= (a + b) [(a)^{2} + (b)^{2}$ $- (a) (b)]$
Si legge: a al cubo più b al cubo è uguale ad a più b, per: a al quadrato, più b al quadrato, meno a b.
$(x + a) (x + b)$ $= x^{2} + (a + b) x + a b$
Si legge: x più a, per x più b, è uguale a x al quadrato, più a più b per x, più a b.

Radicali

\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

Si legge: Radice ennesima di a per b è uguale a radice ennesima di a per radice ennesima di b.

\sqrt[n]{a : b} = \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b}

b \neq 0

Si legge: Radice ennesima di a diviso b è uguale a radice ennesima di a diviso radice ennesima di b, con b diverso da zero.

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

= {(\sqrt[n]{a})}^{m}

Si legge: a elevato a m fratto n è uguale a radice ennesima di a alla m, ed è uguale a radice ennesima di a, tutto elevato alla m.

Equazioni e disequazioni

Equazione di primo grado

a x + b = 0

Soluzione

x = - \frac{b}{a}

Si legge: a x più b uguale a zero. Soluzione: x uguale a meno b fratto a.

Disequazione di primo grado

a x + b \geq 0

Soluzione

x \geq - \frac{b}{a}

Si legge: a x più b maggiore o uguale a zero. Soluzione: x maggiore o uguale a meno b fratto a.

Le soluzioni sulla retta: da

- \frac{b}{a}

(compreso) verso destra.

Equazione di secondo grado

Equazione pura

a x^{2} + c = 0

Soluzioni

x_{1 / 2} = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}

Si legge: a x al quadrato più c uguale a zero. Soluzioni: x uno e due uguale a più o meno radice quadrata di meno c fratto a.

Equazione spuria

a x^{2} + b x = 0

Soluzioni

x_{1} = 0; x_{2} = - \frac{b}{a}

Si legge: a x al quadrato più b x uguale a zero. Soluzioni: x uno uguale a zero; x due uguale a meno b fratto a.

Equazione completa

a x^{2} + b x + c = 0

Soluzioni

x_{1 / 2} = \frac{- (b) \pm \sqrt{Δ}}{2 (a)}

Si legge: a x al quadrato più b x più c uguale a zero. Soluzioni: x uno e due uguale a: meno b, più o meno radice quadrata di delta, tutto fratto due a.

Δ = {(b)}^{2} - 4 (a) (c)

Si legge: Delta è uguale a b al quadrato meno quattro a c.

Equazione fratta

\frac{f (x)}{d (x)} = 0

Studio

f (x) = 0

Si legge: f di x fratto d di x uguale a zero. Si studia: f di x uguale a zero.

Disequazione di secondo grado

Cerca la riga della tua disequazione, poi il caso del tuo delta.

Soluzioni della disequazione di secondo grado secondo il segno di delta
Disequazione	$Δ > 0$	$Δ < 0$	$Δ = 0$
$a x^{2} + b x + c > 0$	$x < x_{1} \lor x > x_{2}$	$\forall x \in ℝ$	$x \neq x_{1}$
$a x^{2} + b x + c \geq 0$	$x \leq x_{1} \lor x \geq x_{2}$	$\forall x \in ℝ$	$\forall x \in ℝ$
$a x^{2} + b x + c < 0$	$x_{1} < x < x_{2}$	$∄ x \in ℝ$	$∄ x \in ℝ$
$a x^{2} + b x + c \leq 0$	$x_{1} \leq x \leq x_{2}$	$∄ x \in ℝ$	$x = x_{1}$

Simboli della tabella

$\lor$ si legge «oppure»
$\forall x \in ℝ$ si legge «per ogni x appartenente a R»
$∄ x \in ℝ$ si legge «non esiste x appartenente a R»
$x_{1}$ e $x_{2}$ sono le soluzioni dell’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$

Disequazione fratta

\frac{f (x)}{d (x)} \geq 0

Si studiano

N \geq 0

D \geq 0

Si legge: f di x fratto d di x maggiore o uguale a zero. Si studiano: N maggiore o uguale a zero, D maggiore o uguale a zero.

Effettuare la regola dei segni.

Funzioni

Funzione esponenziale

y = a^{x}

con

a > 1

Dominio: $ℝ$ ;
codominio: $ℝ^{+}$ ;
funzione crescente in $ℝ$ ;
funzione biiettiva;
$a^{x} \to 0$ per $x \to - \infty$ ;
$a^{x} \to + \infty$ per $x \to + \infty$ .

y = a^{x}

con

0 < a < 1

Dominio: $ℝ$ ;
codominio: $ℝ^{+}$ ;
funzione decrescente in $ℝ$ ;
funzione biiettiva;
$a^{x} \to 0$ per $x \to + \infty$ ;
$a^{x} \to + \infty$ per $x \to - \infty$ .

y = a^{x}

con

a = 1

Dominio: $ℝ$ ;
codominio: ${1}$ ;
funzione costante;
funzione non iniettiva.

Funzione logaritmo

y = \log_{a} x

con

a > 1

Dominio: $ℝ^{+}$ ;
codominio: $ℝ$ ;
funzione crescente in $ℝ^{+}$ ;
funzione biiettiva;
$\log_{a} x \to - \infty$ per $x \to 0$ ;
$\log_{a} x \to + \infty$ per $x \to + \infty$ .

y = \log_{a} x

con

0 < a < 1

Dominio: $ℝ^{+}$ ;
codominio: $ℝ$ ;
funzione decrescente in $ℝ^{+}$ ;
funzione biiettiva;
$\log_{a} x \to + \infty$ per $x \to 0$ ;
$\log_{a} x \to - \infty$ per $x \to + \infty$ .

Campo di esistenza

Funzione polinomiale

y = p (x)

C.E.

ℝ

Si legge: y uguale a p di x. Campo di esistenza: tutti i numeri reali, R.

Funzione fratta

y = \frac{f (x)}{d (x)}

C.E.

d (x) \neq 0

Si legge: y uguale a f di x fratto d di x. Campo di esistenza: d di x diverso da zero.

Funzione irrazionale

y = \sqrt[n]{f (x)}

Si legge: y uguale a radice ennesima di f di x.

Se $n$ è pari allora C.E. è $f (x) \geq 0$
Se $n$ è dispari allora C.E. è $ℝ$

Studio del segno di una funzione

Porre sempre $f (x) \geq 0$

Asintoti

Asintoto verticale

Fare il limite nei punti singolari del campo di esistenza.
Se il risultato è $\pm \infty$ ho un asintoto verticale.
Se è finito non ho un asintoto verticale.

Asintoto orizzontale

Fare il limite per $x$ che tende a $\pm \infty$ .
Se il risultato è finito allora c’è un asintoto orizzontale.
Se invece è $\pm \infty$ allora non c’è asintoto orizzontale.

\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{d (x)}

= \frac{a x^{n} + b x + c}{a ′ x^{d} + b ′ x + c ′}

Si legge: Limite per x che tende a più o meno infinito di f di x fratto d di x, uguale a: a x alla n più b x più c, fratto a primo x alla d più b primo x più c primo.

se $n = d$ il risultato è $\frac{a}{a ′}$
se $n > d$ il risultato è sempre infinito
se $n < d$ il risultato è sempre $= 0$