Faremo insieme uno studio di funzione, un passo alla volta.
Studiare una funzione vuol dire capire come si comporta una formula. Risponde a tre domande:
La scheda mostra un passo alla volta. Quando sei pronto, premi "Avanti". Se hai bisogno di rivedere qualcosa, premi "Indietro".
Dentro ogni passo ci sono delle card. Sono già aperte tutte. Se vuoi nascondere una parte già letta, puoi chiuderla cliccando sul titolo. Niente fretta.
È una frazione. Ha due parti.
Il blu è sempre il numeratore. L'arancione è sempre il denominatore. Useremo questi colori in tutta la scheda.
Il dominio è l'insieme dei valori di x dove la funzione esiste.
In una frazione il denominatore non può mai essere zero. Dividere per zero non si può.
Devo trovare i valori di x che annullerebbero il denominatore x² − 7x ed escluderli.
Imposto la condizione:
Raccolgo la x in evidenza:
Una moltiplicazione fa zero solo se uno dei due fattori è zero. Quindi:
La funzione esiste per tutti i numeri, tranne 0 e 7.
L'asse Y è la riga verticale del piano cartesiano. Si trova dove x = 0.
Devo controllare se posso mettere x = 0 nella funzione.
Ma nel passo precedente ho trovato che x ≠ 0. Quindi x = 0 non è nel dominio.
La funzione non tocca l'asse Y, perché in x = 0 non esiste.
L'asse X è la riga orizzontale del piano cartesiano. Si trova dove y = 0.
Una frazione vale 0 quando il numeratore vale 0. Devo risolvere:
È un'equazione di secondo grado.
Formula: Δ = b² − 4·a·c
Qui i coefficienti sono: a = 1, b = −3, c = −4
Δ è positivo, ci sono due soluzioni.
Prima soluzione (con il +):
Seconda soluzione (con il −):
La funzione tocca l'asse X in due punti:
Capire dove x² − 3x − 4 è maggiore di zero.
Quando un trinomio di secondo grado ha due soluzioni, è:
Le soluzioni del numeratore (le ho calcolate prima) sono −1 e 4.
Il numeratore è:
Capire dove x² − 7x è maggiore di zero.
Lo so già dal passo 2: il denominatore si annulla per x = 0 e x = 7.
Vale la stessa regola del passo precedente: positivo per valori esterni alle soluzioni.
Il denominatore è:
Combinare il segno del numeratore con il segno del denominatore. Uso una tabella.
+ diviso + = +
− diviso − = +
+ diviso − = −
− diviso + = −
In altre parole: segni uguali = positivo, segni diversi = negativo.
I punti che cambiano qualcosa sono −1, 0, 4, 7. Mi creano 5 zone.
| x < −1 | −1 < x < 0 | 0 < x < 4 | 4 < x < 7 | x > 7 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Numeratore | + | − | − | + | + |
| Denominatore | + | + | − | − | + |
| Funzione y | + | − | + | − | + |
In ogni colonna scelgo un numero di prova (per esempio nella prima colonna immagino x = −10) e controllo se numeratore e denominatore danno un numero positivo o negativo. Poi applico la regola dei segni.
Questa mappa mostra dove la funzione può stare e dove non può stare.
Le zone colorate mostrano dove può "vivere" la funzione. Le linee viola tratteggiate sono i confini invisibili dove la funzione non esiste.
Adesso ho tutte le informazioni che mi servono.
La funzione esiste per ogni x, tranne x = 0 e x = 7.
Asse Y: nessuna intersezione (perché 0 non è nel dominio).
Asse X: due punti, A(−1, 0) e B(4, 0).
La funzione è positiva in tre zone:
La funzione è negativa in due zone:
Lo studio di funzione è completo, un passo alla volta.
Adesso sai dove la funzione esiste, dove tocca gli assi e che segno ha in ogni zona del piano.
È disponibile una scheda procedurale stampabile con la sequenza dei passi e tutte le formule chiave. Pensata come strumento di supporto da tenere accanto durante esercitazioni e verifiche.
Si apre in una nuova scheda. Da lì puoi stamparla direttamente.